等概率随机排列数组（洗牌算法）

又是一道跟概率相关的简单问题。话说我的概率学的太差了，趁这个机会也从头开始补习一下。

问题描述：假设有一个数组，包含 n 个元素。现在要重新排列这些元素，要求每个元素被放到任何一个位置的概率都相等（即 1/n），并且直接在数组上重排（in place），不要生成新的数组。用 O(n) 时间、O(1) 辅助空间。

算法是非常简单了，当然在给出算法的同时，我们也要证明概率满足题目要求。

先想想如果可以开辟另外一块长度为 n 的辅助空间时该怎么处理，显然只要对 n 个元素做 n 次（不放回的）随机抽取就可以了。先从 n 个元素中任选一个，放入新空间的第一个位置，然后再从剩下的 n-1 个元素中任选一个，放入第二个位置，依此类推。

按照同样的方法，但这次不开辟新的存储空间。第一次被选中的元素就要放入这个数组的第一个位置，但这个位置原来已经有别的（也可能就是这个）元素了，这时候只要把原来的元素跟被选中的元素互换一下就可以了。很容易就避免了辅助空间。

用 Python 来写一段简单的程序描述这个算法：

    python
    
  


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from random import Random

def Shuffle(li):
  rand = Random()
  for x in xrange(len(li) - 1, 0, -1):  # 逆序遍历 li
    y = rand.randint(0, x)              # 从剩余数据中随机选取一个
    li[x], li[y] = li[y], li[x]         # 将随机选取的元素与当前位置元素互换

主要的代码仅仅三行而已，浅显易懂。

来计算一下概率。如果某个元素被放入第 i（ $1\leq i\leq n$ ）个位置，就必须是在前 i - 1 次选取中都没有选到它，并且第 i 次选取是恰好选中它。其概率为：

p_i=\frac{n-1}{n}\times\frac{n-2}{n-1}\times\cdots\times\frac{n-i+1}{n-i+2}\times\frac{1}{n-i+1}=\frac{1}{n}

可见任何元素出现在任何位置的概率都是相等的。

实际上 Python 用户一定知道，在 Random 类中就有现成的 shuffle 方法，处理方法与我上面的程序是一样的。顺便也贴在这里学习一下。以下代码来自于 Python 2.5 Lib\random.py：

    python
    
  


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def shuffle(self, x, random=None, int=int):
  """x, random=random.random -> shuffle list x in place; return None.

  Optional arg random is a 0-argument function returning a random
  float in [0.0, 1.0); by default, the standard random.random.
  """

  if random is None:
    random = self.random
  for i in reversed(xrange(1, len(x))):
    # pick an element in x[:i+1] with which to exchange x[i]
    j = int(random() * (i+1))
    x[i], x[j] = x[j], x[i]