494. Target Sum

Problem

You are given an integer array nums and an integer target.

You want to build an expression out of nums by adding one of the symbols '+' and '-' before each integer in nums and then concatenate all the integers.

For example, if nums = [2, 1], you can add a '+' before 2 and a '-' before 1 and concatenate them to build the expression "+2-1".

Return the number of different expressions that you can build, which evaluates to target.

https://leetcode.com/problems/target-sum/

Example 1:

Input: nums = [1,1,1,1,1], target = 3
Output: 5
Explanation: There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

Example 2:

Input: nums = [1], target = 1
Output: 1

Constraints:

1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

Test Cases

python
class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:

solution_test.py下载完整源码
py
import pytest

from solution import Solution


@pytest.mark.parametrize('nums, target, expected', [
    ([1,1,1,1,1], 3, 5),
    ([1], 1, 1),

    ([1,0], 1, 2),
    ([30,1,5,32,16,17,30,29,48,14,29,4,31,12,40,13,13,20,41,38], 9, 6867),
])
@pytest.mark.parametrize('sol', [Solution()])
def test_solution(sol, nums, target, expected):
    assert sol.findTargetSumWays(nums, target) == expected

Thoughts

首先如果 nums 的总和比 target 的绝对值小，那么所有数字都用正号或者都用负号都够不到 target，直接返回 0 即可。

然后考虑把负号抹掉。假设有一个式子，那么在等号两边同时加上 nums 中的所有数字，等号左边的每一项就变成 2 * nums[i] 或者 0，右边变成 sum(nums) + target。这就相当于对一个新的数组 [2*nums[0], 2*nums[1], ..., 2*nums[n-1]]，每一项可以选中或不选中，要使得选中的数字之和等于 sum(nums) + target。都除以 2 就等价于原始数字 nums 中任选若干个数字，其和要等于 target' = (sum(nums) + target) / 2。显然 sum(nums) + target 必须是个偶数，否则直接返回 0。

那么题目转变为，给定一个数组 nums，求从其中任选若干个数字能组合出 target' 的不同方案数量。

这时候题目就跟 377. Combination Sum IV 非常像，只不过这里 nums 中的每个数字都最多只能使用一次。

因为限制了每个数字被使用的次数，动态规划的状态变量和状态转移就需要考虑这个因素。

令 dp(i, t)表示 nums 中前 i 个数字可以组合出 t 的方案数量。初值 dp(i, 0) = 1（一个都不选也是一种方案，对应到原问题就是所有数字前边都用负号）。题目的解为 dp(n, target')。

状态转移函数为（其中 numsᵢ = nums[i - 1]）：

dp(i,t)=dp(i-1,t)+\begin{cases} 0 & \text{for }t<nums_i \\ dp(i-1,t-nums_i) & \text{for }t\ge nums_i \end{cases}

因为计算 i 的所有 dp 值时，只会用到 i - 1 相关的值，所以在遍历 i 的时候只需要缓存前一组 dp 值。另外对于确定的 i，任何 t 的 dp 值也只跟 t - numsᵢ 的 dp 有关，只需要从 target' 逆序计算到 numsᵢ，就可以 in-place 更新 dp 缓存，空间占用更少一些。

总的时间复杂度 O(target'²)，空间复杂度 O(target')。

Code

solution.py下载完整源码
py
class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: list[int], target: int) -> int:
        s = sum(nums)
        target2 = s + target
        if s < abs(target) or target2 & 1: return 0
        target2 >>= 1

        dp = [0] * (target2 + 1)
        dp[0] = 1
        for num in nums:
            for t in range(target2, num - 1, -1):
                dp[t] += dp[t - num]

        return dp[target2]

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