3250. Find the Count of Monotonic Pairs I

#Problem

You are given an array of positive integers nums of length n.

We call a pair of non-negative integer arrays (arr1, arr2) monotonic if:

• The lengths of both arrays are n.
• arr1 is monotonically non-decreasing, in other words, arr1[0] <= arr1[1] <= ... <= arr1[n - 1].
• arr2 is monotonically non-increasing, in other words, arr2[0] >= arr2[1] >= ... >= arr2[n - 1].
• arr1[i] + arr2[i] == nums[i] for all 0 <= i <= n - 1.

Return the count of monotonic pairs.

Since the answer may be very large, return it modulo 10⁹ + 7.

https://leetcode.cn/problems/find-the-count-of-monotonic-pairs-i/

Example 1:

Input: nums = [2,3,2]
Output: 4
Explanation:
The good pairs are:

1. ([0, 1, 1], [2, 2, 1])
2. ([0, 1, 2], [2, 2, 0])
3. ([0, 2, 2], [2, 1, 0])
4. ([1, 2, 2], [1, 1, 0])

Example 2:

Input: nums = [5,5,5,5]
Output: 126

Constraints:

• 1 <= n == nums.length <= 2000
• 1 <= nums[i] <= 50

#Test Cases

class Solution:
    def countOfPairs(self, nums: List[int]) -> int:

import pytest

from solution import Solution
from solution2 import Solution as Solution2


@pytest.mark.parametrize('nums, expected', [
    ([2,3,2], 4),
    ([5,5,5,5], 126),

    ([100,1,100,1,100], 0),
    ([1,2,3,4,5,6], 7),
    ([5,5], 21),
    ([7,5], 21),
    ([5,7], 21),
    ([5,7,5,7], 35),
    ([5,7,3,4,3], 1),
    ([5,8,3,4,3], 0),

    ([41,41,41,43,44,45,47,48,49,49], 777711786),
])
class Test:
    # def test_solution(self, nums, expected):
    #     sol = Solution()
    #     assert sol.countOfPairs(nums) == expected

    def test_solution2(self, nums, expected):
        sol = Solution2()
        assert sol.countOfPairs(nums) == expected

#Thoughts

记 $cnt(i,a_i)$ 是 nums[0:i+1] 子数组，$arr1[i]=a_i$ 情况（$arr2[i]=nums[i]-a_i=b_i$）下，单调数组对的个数。题目所求总数即为 $\sum_{a_{n-1}=0}^{nums[n-1]}cnt(n-1,a_{n-1})$。

显然有初值 $cnt(0,a_0) = 1$，其中 $0\le a_0\le nums[0]$。

对于 nums[i]，先看 $a_i$ 的取值范围。除了基础的 $0\le a_i\le nums[i]$，还要看 nums[i-1] 的情况。

不妨设 nums[i-1] 在 arr1 中的值为 $a_{i-1}$，其取值范围是 $[a_{i-1}^{min},a_{i-1}^{max}]$（相应地在 arr2 中的值为 $b_{i-1}$，范围是 $[b_{i-1}^{min},b_{i-1}^{max}]$，其中 $a_{i-1}^{min}+b_{i-1}^{max} = a_{i-1}^{max}+b_{i-1}^{min} = nums[i-1]$）。

显然有：

可得 $a_i$ 的取值范围是：

不在这个范围内的 $a_i$，对应的 $cnt(i,a_i)$ 就是 0。另外如果 $a_i$ 的取值范围是空集，说明 nums[i] 没有能满足单调数组对条件的拆分方案，导致这个数组都无法完成拆分，问题的结果即为 0。

对于某个具体的 $a_i$，再看 $a_{i-1}$ 的可选范围（即 $a_{i-1}$ 取哪些值，nums[i] 把 $a_i$ 放入 arr1 可以满足单调数组对条件）。显然有（其中 $b_{i-1}=nums[i-1]-a_{i-1}$）：

可得 $a_{i-1}$ 的可选范围是（其中 $a_{i-1}\le a_{i-1}^{max}$ 应该是冗余的【TODO】，可以忽略）：

对于所有在范围内的 $a_{i-1}$，累加 $cnt(i-1,a_{i-1})$ 即可得到 $cnt(i,a_i)$ 的值，即：

按照递推公式，从 i = 1 一直推算到 i = n - 1 即可。每次只需要保留关于 i 和 i - 1 的两个 cnt 数组。另外初始值 $a_0^{min}=0$。

再另外由于 arr1 是单调非递减的，可知对于任意的 i，都有 $a_i^{max}\le nums[n-1]$。所以 cnt 数组只需要保留最多从 0 到 nums[n-1]（含）这么多的空间。

空间复杂度是 O(nums[n-1])。时间复杂度是 $O(n * nums[n-1])$。虽然每个 $cnt(i,a_i)$ 都对应了 O(nums[i-1]) 个可选的 $a_{i-1}$，但这个范围是随着 $a_i$ 同步增加的，可以递推计算，使得每个 $cnt(i,a_i)$ 都用常数时间计算。

#Code

class Solution:
    def countOfPairs(self, nums: list[int]) -> int:
        MOD = 1_000_000_007
        a_max = nums[-1]
        prev_val = nums[0]
        prev_a_min = 0
        prev_cnts = [1] * (a_max + 1)
        cnts = [1] * (a_max + 1)

        for i in range(1, len(nums)):
            val = nums[i]
            a_min = max(prev_a_min, prev_a_min + val - prev_val)
            if a_min > val or a_min > a_max:
                return 0

            # p = min(a_min, prev_val, prev_val - val + a_min)
            p = min(a_min, prev_val - val + a_min)
            cnt = sum(prev_cnts[prev_a_min:p+1]) % MOD
            cnts[a_min] = cnt
            for a in range(a_min + 1, min(val, a_max) + 1):
                # if min(a, prev_val - val + a) > p:
                p += 1
                cnt += prev_cnts[p]
                cnts[a] = cnt

            prev_val = val
            prev_a_min = a_min
            prev_cnts, cnts = cnts, prev_cnts

        return sum(prev_cnts[prev_a_min:]) % MOD

#Math

先看只有两个数字，且两个数字相等（记为 m）的情况。

可以看作是有两行棋子，每行都有 m 个。划一条竖线，竖线左边的棋子数量非递减变化（即 arr1），右边的棋子数量非递增变化（即 arr2）。

如上图。这里把棋子上下对齐，让竖线变成折线，效果是一样的（后边称之为「界线」）。在界线左边的棋子数分别是 2 和 4，是非递减的；右边是 3 和 1，是非递增的。

不同的拆分方案对应于不同的界线。把界线改造成下图的样子，让它从左上角 (0, 0) 出发，到右下角 (n, m) 结束。

为了始终符合单调数组对的要求，这条界线就只能往右走或往下走。这就跟 62. Unique Paths 完全一样。可知从 (0, 0) 到 (n, m) 可能的界线数量为 C(m+n, n) = C(m+n, m)。

再看第一行棋子多一些的情况，比如第一行有 m + d 个，第二行有 m 个。

为了确保符合单调数组对的要求，第一行多的 d 个棋子，只能排在最右侧（永远在界线右边）。界线仍然是从 (0, 0) 到 (n, m)，共 C(m+n, n) 种。

接着看第二行棋子多一些的情况，比如第一行有 m 个，第二行有 m + d 个。

这时候需要把第二行多的 d 个棋子排在最左边（永远在界线左边）。那么界线就需要从 (0, d) 开始，到 (n, m+d) 结束，可行的方案数量刚好还是 C(m+n, n) 种。

看起来似乎是只要取两行数字中较小的就行。但扩展到多行时却不对，因为需要注意，第一行多和第二行多，多出来的棋子摆放的位置是不同的。上下相邻的两行，如果上边一行的棋子多，需要沿着左边缘对齐；而如果是下边一行的棋子多，则需要沿着右边缘对齐。

看个四行的例子 [5, 7, 5, 7]：

可见界线始终是从第一行第一个棋子的左上角出发，到最后一行最后一个棋子的右下角结束。不妨设最后一行的棋子数为 m。每相邻两行，如果上一行的棋子数量偏少，就需要把上一行往右挪一些，挪的格数等于两行之差。如果上一行的棋子数偏多，则左侧直接对齐即可。最终第一行第一个棋子左上角，到最后一行最后一个棋子右下角，之间横向距离为 $m-\sum_{i=1}^{n-1}\{\max\{0,nums[i]-nums[i-1]\}\}$。记 $\sum_{i=1}^{n-1}\{\max\{0,nums[i]-nums[i-1]\}\}$ 为 D，那么界线的方案数量为 C(m-D+n, n)。

显然如果 D = m，则界线就只能是一条竖直线；而如果 D > m 则无解（因为界线不能往左走）。

计算 C(m-D+n, n) 的方法可以参考 62. Unique Paths。时间复杂度 O(n)（需要遍历 nums 算出 D，然后计算 C(m-D+n, n) 的时间为 O(min{n, m-D}) < O(n)），空间复杂度 O(1)。

class Solution:
    def countOfPairs(self, nums: list[int]) -> int:
        n = len(nums)
        m = nums[-1]
        for i in range(1, n):
            if (d := nums[i] - nums[i-1]) > 0:
                m -= d
                if m < 0:
                    return 0

        # C(m+n, n)
        if m < n:
            m, n = n, m

        res = 1
        for j in range(n):
            res = res * (m + 1 + j) // (1 + j)

        return res % 1_000_000_007